Astronomisk Navigation.

Brug af sekstant.

En af glæderne ved at sejle er, at man kan klare sig med så enkelt udstyr, at man selv kan ordne det, hvis det går i stykker. Og det gør det.
Derfor er jeg og mange andre principielt tilhængere af så lidt elektrisk udstyr ombord som muligt. Indrømmet: en log er næsten ikke til at undvære, og et ekkelod har vi også. Og en sattelitnavigator kommer såmænd nok også engang, når principperne falder i takt med prisen på GPS'er.

Men det er nu sjovt at kunne finde ud af, hvor man er, ved noget så simpelt som at se på solen. Ganske vist skal man se meget nøjagtigt, men det har man en sekstant til at hjælpe med. Og når først man ved, hvordan den skal bruges, er det såmænd ikke så indviklet endda.. Så man skal selvfølgelig have en sekstant. Derudover skal man have et søkort eller et stedliniekort. Og endelig skal man have nogle hjælpemidler til at finde solens position med. Traditionelt bruges Nautisk Almanak og det amerikanske tabelværk H.O.249. Men hvis man har (og kan bruge!) en programmerbar lommeregner og Fiskeriårbogen, kan man også klare sig med det. Det sidste bruges her i denne udredning, som primært er skrevet for de nysgerrige, der gerne vil vide, hvordan man overhovedet finder positioner med en sekstant. Hvis man bare vil vide det, kan man nøjes med at læse ca. halvdelen af artiklen, nemlig om til "Og så detaljerne". Hvis man vil kunne, må detaljerne læses med.

1. Så gør man bare sådan:

Når man en gang til sin tid kan det hele, kan proceduren stå på 6 linier:
1. Mål højde + indekskorrektion + højderettelse.
2. Find GMT i observationsøjeblikket = visning + stand + gang.
3. Find polpunktet ud fra GMT + tidsækvation og deklination.
4. Find gisset sted ifølge bestik.
5. Beregn højde og azimut fra gisset sted.
6. Ret forskellen i søkortet.
Værre er det såmænd ikke. Når først man kan.
Det, man på dnne måde finder, er ikke en position, men en stedlinie. Hvis man vil have sin position, må man have flere stedlinier til at skære hinanden, f.eks. en fra om morgenen, en middagsobservation og en aftenobservation.

2. Polpunktet

Fra det, der i gamle dage i skolen hed "almindelig geografi" ved vi, at solen altid står lodret over et eller andet sted på jorden. Stedet suser rundt om jorden på et døgn, fordi jorden roterer i forhold til solen. Samtidig flytter stedet sig året igennem mellem krebsens og stenbukkens vendekreds, hhv. 23,5 grad nord og syd for ækvator. Det skyldes, at jorden i forhold til sin bane om solen hælder 23,5 grader i rummet som vist fig. 1.

Fig. 1. Jordens gang om solen.

Set fra jorden ser det ud til, at solen vandrer mellem krebsens og stenbukkens vendekreds, så den ved midsommer står lodret over krebsens vendekreds (Fig. 2), og om vinteren over stenbukkens vendekreds.

Fig. 2. Deklination

Stedet, som solen står lodret over, kaldes polpunktet og betegnes ved P. Det antal grader, som polpunktet P er nord eller syd for ækvator, kaldes deklinationen. Deklinationen kan være nordlig eller sydlig. P's position målt på jordens omkreds kaldes solens timevinkel GHA (Greenwich Hour Angle).
Jorden roterer østover som vist ved pilen fig. 3.

Fig. 3. GHA og deklination

GHA kan blive indtil 24 timer, som svarer til 360 grader. D.v.s., at P på jorden flytter sig 15 grader i timen eller 1" (buesekund) på 4 tidssekunder. Hvis man således kender solens deklination og dens timevinkel GHA, kan man finde polpunktet P, som solen står lodret over.
Deklinationen findes f.eks. i kalenderen i Fiskeriårbogen, og GHA findes v.hj. af et ur. Et almindeligt digitalur er udmærket.

3. Ligehøjdecirkler.

Hvis man befinder sig lige i polpunktet, har man solen lodret over hovedet. Et øjeblik efter har solen flyttet sig, og så er man ikke i polpunktet mere. Men i P er solhøjden altså 90 grader.
I en vis afstand fra polpunktet er solhøjden ikke 90 grader. Den vil være lige så mange grader mindre end 90 grader som det antal grader af jordens omkreds, man befinder sig væk fra P.

Fig. 4. Solhøjde

Det sted, vi befinder os, kaldes O for observeret sted. På fig. 4 er det observerede sted H grader fra polpunktet P målt på en storcirkel. Solhøjden i det observerede sted O er da 90 - H grader.
Omvendt ved vi så, at hvis solhøjden er 90 - H grader, befinder vi os et eller andet sted i en afstand af H grader fra P.

Fig. 5. Ligehøjdecirkel

Hvis vi måler en solhøjde på 60 grader, befinder vi os altså 90 - 60 = 30 grader fra P i en eller anden retning. Faktisk kan vi befinde os hvor som helst på en cirkel rundt om P i afstanden 30 grader. En sådan cirkel med P i centrum, og hvor solhøjdn overalt er den samme, kaldes en ligehøjdecirkel. Se fig. 5.
Polpunktet kan tænkes omgivet af uendelig mange ligehøjdecirkler i afstande fra 0 grader til 90 grader. Over 90 grader bevæger vi os om på jordens natside.

4. Utopisk intermezzo.

Allerede her kan man måske mene, at hvis man har beregnet polpunktet og ved hjælp af en solhøjdemåling fundet, hvor langt man er fra polpunktet, kan man bare tage en pejling til solen. Så har man en pejling og en afstand, og så kan positionen findes.
Desværre er solen 150 000 000 km. væk. Så selv om vi flytter os adskillige sømil sideværts, vil det ikke ændre pejlingen.
Men afstanden til polpunktet har vi da, så den må vi kunne afsætte i søkortet! Desværre nok heller ikke. Sandsynligvis ligger P langt uden for det anvendte søkort. Så vi må i gang med noget regneri.

5. Azimut og stedlinie.

Når man kender to steders koordinater på jorden, kan man beregne deres afstand og den retvisende pejling fra det ene punkt til det andet, se fig. 6.

Fig. 6. Azimut

Den retvisende pejling fra det observerede sted O til polpunktet P (eller til solen, hvilket er det samme) kaldes solens azimut.
Når O's bredde B1 og længde L1 og P's bredde B2 og længde L2 kendes, kan solens azimut (retvisende pejling) og afstanden OP målt i grader på en storcirkel beregnes. Med det samme, vi er i gang med at regne, får vi den beregnede solhøjde H næsten foræret oven i købet.
Men vi kender jo kun et sted, nemlig polpunktet. Det andet sted, nemlig vores egen position, det observerede sted O, er jo netop det, vi skal finde. Hvad gør vi så?
Vi tager det gissede sted ifølge vores bestik og beregner højde og azimut for det. Så trækker vi en linie gennem det gissede sted i retning mod polpunktet. Hvis nu vores bestik passer, så vi i virkeligheden er på det gissede sted, skal vores målte solhøjde være den samme som den beregnede. Men selv om den målte og den beregnede solhøjde er de samme, er det ikke sikkert, det observerede sted og det gissede sted er de samme. Men de ligger på samme ligehøjdecirkel.

En pollinie er en storcirkel gennem det gissede sted og polpunktet. Den observerede stedlinie er forskudt lige så mange sømil mod polpunktet, som den observerede højde er større end den beregnede målt i bueminutter.
Vi starter med at tegne pollinien gennem det gissede sted og med retning mod polpunktet. I stor afstand fra centrum er en cirkelbue næsten en ret linie. Så vi trækker en ret linie gennem det gissede sted vinkelret på pollinien.
Når afstanden til polpunktet er stor, bliver polliniens retning også den samme, uanset om vi går ud fra det gissede sted eller det observerede sted.
Den vinkelrette linie er nu vores stedlinie. Hvis den målte højde f.eks. er større end den beregnede, må vi være nærmere polpunktet end gisset, og stedlinien parallelforskydes lige så mange sømil mod polpunktet, som den målte højde er større end den beregnede målt i bueminutter. Og voilá! Vi har vores stedlinie!

6. Og så detaljerne.
Højden.

Som nævnt indledningsvis starter man med at måle solhøjden og finde GMT i observationsøjeblikket.
Når man tænker på, hvor besværligt det er at slå en streg i søkortet med 1 grads nøjagtighed, må det forbavse, at man med en sekstant kan aflæse vinkler nøjagtigere end 1' (bueminut), altså over 60 gange så nøjagtigt. Derfor har sekstanten da også en noniusaflæsning af gradetallet og en lup til at aflæse noniusen med. Eller også er det en tromlesekstant, dvs. den har en finindstillingsskrue med aflæsning lige som på en mikrometerskrue. Tromlesekstanten er den almindeligste i dag.
Alle har formodentlig set i det mindste et billede af en sekstant. Princippet er, at man i en kikkert ser gennem et halvspejl, som man kan se igennem i den ene side, og som har spejlbelægning i den anden side. Via et spejl, som sidder på en drejelig arm, ser man samtidig de to ting, man vil måle vinklen imellem, nemlig solen og kimingen. Ved at dreje armen med det andet spejl på, bringes solens underkant og kimingen til netop at røre hinanden. På gradebuen kan man nu læse solens underkants højde. Den angives ved en cirkel med en prik i og en vandret streg under.
Inden sekstanten tages i brug, skal man bestemme indekskorrektionen, som er det, sekstanten viser, når højden er 0 grader. Spejlet kan let have forskubbet sig en anelse. Man sigter derfor mod en fjern linie, finindstiller og aflæser, hvor mange minutter over eller under 0 grader, indeksen står. Minutter over 0 grader trækkes fra, under 0 grader lægges til visningen.
Desuden skal højderettelsen bestemmes. Det er en samlet korrektion for følgende:
1. Højden er målt til kimingen i stedet for horizonten.
2. Lyset brydes i atmosfæren, så solen ses for højt.
3. Højden er målt fra jordens overflade i stedet for fra dens centrum.
4. Højen er målt til solens underkant, hvor man skal bruge dens centrum.
Alle disse rettelser slås sammen til en korrektion, der skal lægges til den aflæste højde. I Fiskeriårbogen er der en tabel over højderettelser for forskellige solhøjder og forskellige øjenhøjder over havet. Den findes i forklaringen til kalenderen. Når man lægger højderettelsen til solens underkants observerede højde, får man solskivens centrale højde, som er den, vi skal bruge.
Eksempel:
Solens underkants observerede højde = 22 gr. 16,5 min., indekskorrektion = 8 min. under 0, øjenhøjde 2 m.
Observeret højde = 22 gr. 16,5 min. + 8 min = 22 gr. 24,5 min.
Højderettelse = 11,2 min. (tabelværdi)
Solskivens centrale højde = 22 gr. 24,5 min. + 11,2 min. = 22 gr. 45,7 min.

7. Tiden.

For at finde GMT (Greenwich Mean Time) i observationsøjeblikket må vi have et pålideligt ur. Det gør ikke så meget, det går lidt for hurtigt eller langsomt, bare det går lige meget for hurtigt eller langsomt altid. Ved urets stand forstår man den tid, uret viser mere eller mindre end GMT. Urets gang er, hvor meget det taber eller vinder. Med moderne kvartsure (digitalure) et det ikke det store problem. Nogle ure kan endda vise tiden flere steder på jorden, og så kan man jo have GMT som den ene valgmulighed.
GMT i observationsøjeblikker findes som urets visning + urets stand ved sidste kontrol + urets gang i mellemtiden.
Samtidig med, at jorden roterer om sig selv og skaber dag og nat, vandrer den rundt om solen i en bane, der er en lille smule elipseformet. Om vinteren er solen lidt nærmere solen end om sommeren, og derfor bevæger jorden sig lidt hurtigere i sin bane om vinteren.
Derfor forskyder sand soltid sig ca. plus/minus et kvarter i forhold til den normaltid, vi regner med til daglig, i løbet af året. Denne forskydning af sand soltid i forhold til normaltiden kaldes tidsækvationen. Tidsækvationen året rundt findes også angivet i kalenderen i Fiskeriårbogen. Skal man bruge den nøjagtigere til et bestemt tidspunkt, må man interpolere.

8. Polpunktet.

Nu kan vi finde polpunktets koordinater. GHA finder vi ved at lægge tidsækvationen til GMT. Når vi husker, at solen bevæger sig 15 grader vestover i timen, og at den står over 0-meridianen kl. 12.00 GMT + tidsækvationen, kan vi finde længden vest for Greenwich.
Eksempel:
Hvad er polpunktets længde og bredde d. 20. maj kl. 15 tim 40 min 17 sek GMT?
I tabellen findes tidsækvationen 20. maj kl 12.00 til +3min 20 sek.
Sandtid = 15 tim 40 min 17 sek + 3 min 32 sek = 15 tim 43 min 49 sek.
GHA = 15 tim 43 min 49 sek - 12 tim = 3 tim 43 min 49 sek.
Længde = 3 tim 43 min 49 sek. gange 15 gr/tim = 55 gr 57 min 15 sek.
Da vi regner med tiendedele minutter og ikke sekunder i buemål, bliver længden 55 gr 57,3 min V. Længden regnes positiv vest for Greenwich og kan blive indtil 360 gr.
Bredden er lig med deklinationen, som kan aflæses af tabellen. Den er 20. maj kl 16.00 20 gr 05,8 min N. Kl. 14.00 er den 20 gr 04,8 min N, så kl. 15.40 må den være 20 gr 05,6 min N.
Polpunktets koordinater er altså: 55 gr 57,3 min V 20 gr 05,6 min N.

9. Højde og azimut.

Nu skal vi til at regne matematik, nemlig for at finde solhøjde og azimut fra vort gissede sted.
Det er her, man normalt bruger det amerikanske tabelværk H.O.249. Men en matematiklommeregner kan også klare sagen sammen med Fiskeriårbogen.
En sfærisk trekant er en trekant på en kugleflade. I en sfærisk trekant udtrykkes både sider (som alle 3 er stykker af storcirkler) og vinkler i grader. Se fig. 8.

For det gissede sted er bredden B1 og længden L1, og for polpunktet er bredden B2 og længden L2.
Afstanden fra det gissede sted til polpunktet er siden b i trekanten ABC på fig. 8. Og den afstand får vi direkte i grader (og minutter). Azimuten er retningen til solen, og den er lig med 180 gr. - vinkel A.
Først beregnes trekantens sider, idet vestlige og nordlige grader regnes positive, østlige og sydlige grader regnes negative:

a = arcos(1-2*sin^2((L2-L1)/2)*cos^2(B2))
b = arcos(sin(B1)*sin(B2)+cos(B1)*cos(B2)*cos(L2-L1))
c = B2-B1

Husk at omregne minutter til decimalbrøk af grader, før vinklerne indtastes.
Solhøjden er nu 90 gr. - b.
For at finde solens azimut, som jo er 180 gr. - vinkel A, indføres hjælpestørrelsen

s = (a + b + c)/2

hvorefter vi kan finde

vinkel A = 2 * arcsin(sqrt((sin(s-b)*sin(s-c))/(sin(b)*sin(c))).

"sqrt" står for squareroot (kvadratrod). Hvis vinkel A er over 180 gr., er azimuten 360 gr. - vinkel A. Lav hellere en lille skitse til kontrol. I praksis kan man jo se på kompasset, hvad retning solen omtrentlig står i.
Til kontrol af beregningerne kommer her nogle sammenhørende værdier af koordinater, azimut og højde. Viser beregningerne samme værdier, er de nok rigtige.

Eksempel 1: B1 = 45 gr. 16,0 min N, L1 = 22 gr. 34,0 min. V
B2 = 11 gr. 22,0 min S, L2 = 69 gr. 26,3 min. V.
B1,L1 er det gissede sted. B2 er deklinationen, og L2 er solens GHA omregnet til grader. Disse tal skal give:
Solhøjde = 19 gr. 22,0 min og azimut 229 gr.

Eksempel 2: B1 = 59 gr. 24,0 min N, L1 = 33 gr. 11,0 min V
B2 = 20 gr. 47,4 min N, L2 = 292 gr. 01,5 min V
skal give solhøjde = 12 gr. 19,5 min og azimut 70 gr.

10. Rettelse af forskel i søkortet.

Kommet så vidt skulle vi vide, hvad solhøjden faktisk er (det har vi målt), hvad den ifølge bestikket skulle være (det har vi beregnet), og hvilken retning polpunktet ligger i (solens azimut). Vores stedlinie vinkelret på pollinien i det gissede sted parallelforskydes nu som vist fig. 7, idet vi husker, at en forskel på 1 minut mellem den observerede og den beregnede solhøjde svarer til en sm mod polpunktet, hvis den obserberede højde er størst, og fra polpunktet, hvis den observerede højde er mindst.
Usikkerheden på stedlinien er 1 sm i polliniens retning for hvert minuts usikkerhed på højdemålingen og 1 sm i øst-vestlig retning for hver 4 sekunder på tidsmålingen.
God fornøjelse!